Une application conforme f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}" envoie le plan complexe dans le plan complexe. Chaque point z du plan est associé à un unique autre, son image f(z).

On peut avoir l’idée, si on met dans le plan complexe une figure, comme une photo ou un dessin, de la déformer par une telle fonction.

Si la fonction est bijective, réciproquement, à y correspond un unique z dont c’est l’image, c’est-à-dire y=f(z).

Mais en général, fn’est pas injective et plusieurs points correspondent à la même image.

Par conséquent la déformation de manière directe de la figure n’est pas vraiment possible : si on veut créer une nouvelle figure image de la première, quelle couleur affecter à un point qui est l’image de deux points différents : y=f(z)=f(z'), la couleur dans la figure de départ du point z ou celle de z' ?

Par contre on peut tirer en arrière cette figure par la fonction f, c’est-à-dire créer une nouvelle figure en colorant le point z de la même couleur que son image f(z) dans la figure de départ.

Les applications conformes ont ceci de particulier qu’elles envoient des chemins qui se coupent sur des chemins déformés, mais qui se coupent avec le même angle que dans l’image de départ. Presque toutes les fonctions usuelles sont conformes, en particulier elles se cachent derrière la quasi-totalité des touches des calculatrices, cos, sin, tan, exp, log, x^2, \sqrt x, x^y...

Quelques exemples :
La fonction f(z)=z recopie simplement l’image, f(z)=2 z la diminue (elle est tirée en arrière !), f(z)= z/2 la double, f(z)=i z la tourne de \pi/2 (dans quel sens ?), f(z)=z+1/2 la translate (de quel côté ?), mais que fait f(z)=z^2 ?

Pour l’observer, voici une applet java (signée par Christian Mercat I3M UM2, vous devez accepter le certificat pour pouvoir l’utiliser). Comme image de départ, vous choisissez un fichier d’image sur votre ordinateur, ou bien rien pour avoir la frise d’entrelacs, et nous paverons le plan avec. Le point 0 est au centre, le point 1 est sur le milieu du côté droit, -1 sur le côté gauche.

Vous donnez ensuite une fonction par sa formule (quelques exemples intéressants sont donnés, il suffit d’appuyer sur les boutons, calibrés pour une image de 320x240), vous donnez la taille de l’image à créer (par défaut 640x480) et voilà ! Vous pouvez donner un temps de rafraîchissement nul si vous prenez comme source une image issue d’une webcam !

Exemple :

Par exemple, prenez l’image suivante, une croix d’Occitanie, avec en son centre le M bleu de la municipalité, et aux quatre coins une photographie de la ville (les Arceaux, la place la Comédie, l’hôtel de région et le Peyrou).

Inversion

L’application f(z)=1/z qui échange l’intérieur et l’extérieur du cercle de rayon 1, envoyant 0 à l’infini, est appelée l’inversion. Elle envoie les droites et cercles sur des droites et cercles. Ainsi, les douzes perles de la croix d’Occitanie, qui sont sur un cercle dans l’image de départ, restent sur un cercle.

Logarithme

Après les polynômes, les fractions rationnelles (comme l’inversion), l’application conforme la plus intéressante est la fonction exponentielle. Sa réciproque est le logarithme. Ce sont les applications de changement de repère cartésien/polaire. Ainsi, les douzes perles de la croix d’Occitanie, qui sont sur un cercle dans l’image de départ, se retrouvent-elles sur une droite dans l’image finale. Mais si après une année, on se retrouve au même mois, on en n’a pas moins changé de calendrier. De même , le logarithme déplie ces douze perles en un chapelet qui se répète infiniment.

Quand les entrelacs rencontrent les applications conformes,

Frise

Spirale

f(z)=log(z)*(240/320+5*i)/(2*Pi) (original 320x240) Essayez avec +n*i au lieu de +3*i

Exponentielle

f(z)=exp(z)

Log

f(z)=log(z)*6*3.14159*1148/1823

Inversion

f(z)=1/z
Il y a un pôle en zéro

Doubles pôles

f(z)=1/(z^2-0.25)
Il y a deux pôles, en +/- 0.5

Un poster de quatre pages sur le sujet, réalisé par Olivier Rodriguez pour les Journées Portes Ouvertes de l’université Montpellier 2 : JPO1 JPO2

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